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2011年1月MBA管理类联考199管综数学第8题真题及答案解析

2022-07-22

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将2只红球和1只白球随机放入甲、乙、丙三个盒子中,则乙盒中至少有1个红球的概率是()。

A. [公式] B. [公式] C. [公式] D. [公式] E. [公式]

解析:

注意啦,管综考试里,如果没有用“相同”这个形容词特指的话,题中所指的2个红球理解为2个不同的红球。

题目求的是乙盒中至少有1个红球的概率,通常的解题方法有2种。一是正向考虑乙盒中至少有一个红球的方案,然后除以3个球随机放入三个盒子的所有方案;二是反向考虑乙盒中没有一个红球的方案,计算出不合要求的概率后用1减去,得到符合要求的概率。

一般而言,对于至多至少类的排列组合或概率计算,用反向计算的方法更简单。

解题方法?

【方法一】正向计算。

乙盒中至少有一个红球,存在两种可能:一是乙盒中有一个红球,二是乙盒中有2个红球。

乙盒中若有一个红球,则从2个红球里选出1个放入乙盒的方法有 [公式] 种。

对于剩下的那个红球,有甲、丙2个盒子可以随意放入,方法有[公式] 种。

对于白球,始终有3个盒子可以随意放入,方法有[公式] 种。

这样,乙盒中若有一个红球的方法有[公式][公式][公式]种。

乙盒中若有2个红球,则从2个红球里选出2个放入乙盒的方法有 [公式] 种。

对于白球,始终有3个盒子可以随意放入,方法有[公式] 种。

这样,乙盒中有2个红球的方法有[公式][公式]种。

所以,乙盒中至少有一个红球的方案有[公式][公式][公式]+[公式][公式]=12+3=15种

3个球随意放入3个盒子时,因为每个球有3种选择,合计方案有[公式][公式][公式]=27种

所以,乙盒中至少有1个红球的概率= [公式]

故,选项D正确。


【方法二】反向计算。

乙盒中至少有一个红球的对立命题,是乙盒中没有一个红球。

那么2个红球只能放入甲盒或丙盒,每个红球有2种选择,方法有[公式][公式]种。

对于白球,始终有3个盒子可以随意放入,方法有[公式] 种。

所以,乙盒中没有一个红球的方案有[公式][公式][公式] =12种

3个球随意放入3个盒子时,因为每个球有3种选择,合计方案有[公式][公式][公式]=27种

所以,乙盒中没有1个红球的概率= [公式]

所以,乙盒中至少有1个红球的概率= [公式]

故,选项D正确。


【方法三】

因为题目只关心至少一个红球在乙盒中的概率,而白球的分配与红球的分配无关,不影响红球的分配概率。也就是说,计算红球在乙盒中的分配概率时,不需要考虑白球的情况。

原题等价于:将2只红球随机放入甲、乙、丙三个盒子中,则乙盒中至少有1个红球的概率是多少?

用反向计算的方法来计算一下。

如果乙盒中没有红球,那么2只红球只能分配到甲盒或丙盒,方法有[公式][公式]=4种。

2只红球随机分配到甲、乙、丙三个盒子时,每个红球有3个可能去向,方法有[公式][公式]=9种

所以,乙盒中没有红球的概率= [公式]

所以,乙盒中至少有1个红球的概率= [公式]

故,选项D正确。


【总结】本题考察排列组合里的分房问题,难度较高。分房问题是排列组合里常见问题,容易搞错,需要细心掌握解此类题目的“客店法”。

练习1: 10个人进8个房间,有多少种进法?

解析:1个房间可容纳10人,但1个人不能同时进8个房间。不能重复的元素,在本题是人,看成“客”;可以重复的元素,在本题是房间,看成“店”。计算时,让客去选店

1个人有 [公式] 种选择,10个人则有 [公式] 种选择。


练习2:6名选手争夺3项冠军,获得冠军的可能性有多少种?(谁是客?谁是店?)

练习3: 2个红球、1个白球随机放入甲乙丙丁四个盒子里,乙盒至少有1个红球的概率是多少?(谁是客?谁是店?)


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